包含與排除的奧數練習題

全班有60個同學，喜歡踢足球的有2/3，喜歡籃球的有3/4，喜歡羽毛球的有4/5，三項都喜歡的.有22個同學，問三項都不喜歡至多有多少人?

設:全班只喜歡踢足球和籃球的有X個,只喜歡踢足球和羽毛球的有Y個，只喜歡羽毛球和籃球的有Z個,只喜歡踢足球的有a個，只喜歡羽毛球的有c個，只喜歡打籃球的有b個，三項都不喜歡的有n個

則

X+Y+22+a=40

X+Z+22+b=45

Y+Z+22+c=48

三項加起來得

X+Y+Z+22*2+(X+Y+Z+22+a+b+c)=133

X+Y+Z+(X+Y+Z+22+a+b+c)=89

因為60人除了22個三個都喜歡剩下38人

這38人中有

n個什麼都不喜歡

喜歡足球18個

籃球23個

羽毛球26個

所以當182326共所佔的人數最少時

即人數和為X+Y+Z時

n最大

此時38人=X+Y+Z+n

所以X+Y+Z=(38-n)

因為60人除了有喜歡的就是沒喜歡的

所以X+Y+Z+22+a+b+c+n=60

所以X+Y+Z+22+a+b+c=60-n

所以(38-n)+60-n=89

n=4.5

所以X+Y+Z=33.5

因為X+Y+Z為整

所以X+Y+Z為33

n=5

所以n最大為5

所以三項都不喜歡至多有5個...