最簡分數國小六年級奧數題及答案

1、從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數（至少選一個，不能不選），使它們的和為4的倍數，一共有幾種方法？

2、 一個迴文數是指從首位數讀到末位數，與從末位數讀到首位數都相同的數（例如：11511，22222，10001）。請問可被11整除的五位數的迴文數個數與全部五位數的迴文數的個數之比是多少？答案請用最簡分數表示。

1． 從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數（至少選一個，不能不選），使它們的和為4的倍數，一共有幾種方法？

解答：先從3,4,5,6,7,8中隨便選幾個（可以不選）。之後根據在3,4,5,6,7,8中選出數的和除以4的.餘數來決定選不選1,2，方法如下：若那個和除以4 餘1則1,2都選；餘2則選2不選1；餘3則選1不選2；餘0則都不選。這樣總共有2的6次方共64種方法，但是其中有一種一個數都不選的方法，需要去掉，故滿足條件的選法有63種。

2． 一個迴文數是指從首位數讀到末位數，與從末位數讀到首位數都相同的數（例如：11511，22222，10001）。請問可被11整除的五位數的迴文數個數與全部五位數的迴文數的個數之比是多少？答案請用最簡分數表示。

解答：五位迴文數的一般形式為ABCDE，所以五位迴文數共有9×10×10=900個。若五位迴文數能被11整除，則2a+c與2b的差是11的倍數，即2a+c－2b=11，2a+c－2b=22，2b－（2a+c）=11或2b=2a+c。

若2a+c－2b=11，則c為奇數，當c=1時，a－b=5，b=0，1，2，3，4；當c=3時，a－b=4，b=0，1，2，3，4，5；當c=5 時，a－b=3，b=0，1，2，3，4，5，6；當c=7時，a－b=2，b=0，1，2，3，4，5，6，7；當c=9 時，a－b=1，b=0，1，2，3，4，5，6，7，8。共35個數。

若2a+c－2b=22，則c為偶數，且不小於4，當c=4時，a－b=9，b=0；當c=6時，a－b=8，b=0，1；當c=8時，a－b=7，b=0，1，2。共6個數。

若2b－（2a+c）=11，則c為奇數，當c=1時，b－a=6，a=1，2，3；當c=3時，b－a=7，a=1，2；當c=5時，b－a=8，a=1；c=7或9時，a和b無法同時為1位數，所以共有6個數。

若2b=2a+c，則c為偶數，當c=0時，a=b，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9；當c=2 時，b=a+1，a=1，2，3，4，5，6，7，8；當c=4時，b=a+2，a=1，2，3，4，5，6，7；當c=6 時，b=a+3，a=1，2，3，4，5，6；當c=8時，b=a+4，a=1，2，3，4，5。共35個數。

所以能被11整除的五位迴文數有35+6+6+35=82個，與全部五位迴文數的個數之比為41/450