關於有效積累與運用個人數學資料的方法

善於有效地積累和運用個人數學資料進行學習，就好比掌握了獨立獲取數學知識的金鑰匙．下面整理了如何有效地積累與運用個人數學資料的討論稿，供同學們學習時參考．

一、積累與完善個人數學資料，使知識系統化

“個人數學資料”是指學生數學學習過程中課堂記錄、複習小結、課外學習資料摘抄等學習筆記，練習、作業、測試卷、錯解筆記、考試小結、小論文和學習心得等對數學學習有指導作用的數學資料．在平時學習中要隨時注意將所學的知識在頭腦中形成一定的體系，成為知識總體中的有機組成部分，並及時整理．隨時把概念的形成與知識系統化有機聯繫起來，加強知識內部和相互之間各部分學習的基礎，更要重視和做好從已知到未知，新舊聯繫的系統化工作，有意識地作好總結工作，使所學知識先成為小系統、後成為大結構，從而達到系統化的要求．完善個人數學資料的過程中要做到“不怕做不到，就怕想不到，平時的學習中要有完善總結意識”．

二、要有意識地、有針對性地去查找個人數學資料

1．在學習某一部分的知識點時，查閲資料需注意知識的產生髮展的過程，不能只重記住結論而忽視其過程，如直線的方程、橢圓與雙曲線的焦半徑公式，若只記結論，則很容易在應用時搞混淆．故查找資料要針對知識產生的過程作重點學習．

2．當新舊知識間發生衝突或互相抵制時，要查找資料，將新舊知識的概念作具體的分析，探索它們的區別與聯繫，當學習時感到迷惑時，就要立即回到課本或筆記中去找出老師在講解這部分知識時是如何分析與突破的，將概念及數學思想理解到位．

3．有效地學習離不開對資料的應用及挖掘，因此要有目的、有計劃的查找資料，首先要制訂查找計劃，初始階段可每週制訂一個探究性問題去研究，列出標題，如:均值不等式的應用、直線與圓的位置關係、焦點三角形公式及應用、離心率的求法等等．也可以以文學作品形式寫出，如誰丟了等號、第二次出擊、橢圓的歷史等等，實踐證明，這一形式的查找資料不僅能提高學習興趣，而且對學習的幫助很大．

一、重點、查缺補漏。對前幾次各區模擬分類梳理、整合，既可按分類，也可按思想分類。強化聯繫、形成網絡結構，以少勝多，以不變應萬變。

二、查找錯題，分析病因，對症下藥。查錯題，分析病因，對症下藥，這是重點。

三、閲讀《説明》和《試題分析》，確保沒有知識盲點 。

四、注意基礎複習。迴歸課本、迴歸基礎、迴歸近年數學試題，把握通性通法 。

五、重視書寫表達的規範性和簡潔性 。重視書寫表達的規範性和簡潔性，掌握各類常見題型的表達模式，避免“會而不對、對而不全”現象的出現，力爭既對又全。

六、不要做難題 。臨考前應做一定量中、低檔題，以達到熟練基本方法、典型問題的目的,高中政治，一般不再做難題，要保持清醒的頭腦和良好的解題狀態。

同學們初學不等式，尤其在利用不等式的性質解題時，一定要注意不等式成立的前提條件，否則極易出現解題錯誤。現舉例剖析如下：

例1. 若 < style='width:136.5pt; > 求 的範圍。

錯解：由題設，得

即< style='width:79.5pt;> 。

剖析：上述解法是錯誤的，如

又

故

例2. 如果 的取值範圍。

錯解：由 。

剖析：仔細觀察不難發現上述解法是錯誤的，因為 ，結果矛盾。這是由於在由y推出 的範圍時，不等號的方向已發生了改變，而在解題中忽略了這一點。

正解：由 ，得 。 （1）

又 （2）

由（1）、（2）兩式相乘得

評註：兩個不等式兩邊不能直接相除 高中歷史，若要求兩數商的範圍，只能通過轉化為同向正向不等式相乘的求得，即必須準確運用不等式性質。

例3. 解不等式組 ，即 不等價，性質 是 ，由（2）得

例4. 解下列不等式：

（1）

（2）

（3）

錯解：（1）由 ，得

（2）兩邊平方得

（3）兩邊約去因式“

（4）“交叉相乘”得 ，即

故原不等式的解集為

（2）注意到

故原不等式的解集為 時

兩邊同除以

故 ，得

故 。

所以原不等式的解集為

（4）當 時， ，即

故解集為

例5. 設 ，求

故

剖析：其錯誤原因出在多次運用不等式的性質時，其等號成立的條件不同，造成積累誤差，結果使取值範圍擴大。為了避免這類錯誤，必須：

（1）看幾次等號成立的條件是否相同；

（2）儘可能多的用等式，減少不等式計算的次數。

正解：由

故

得

一、《集合與函數》

內容子交併補集，還有冪指對函數。性質奇偶與增減，觀察圖象最明顯。

複合函數式出現，性質乘法法則辨，若要詳細證明它，還須將那定義抓。

指數與對數函數，兩者互為反函數。底數非１的正數，１兩邊增減變故。

函數定義域好求。分母不能等於０，偶次方根鬚非負，零和負數無對數；

正切函數角不直，餘切函數角不平；其餘函數實數集 高中地理，多種情況求交集。

兩個互為反函數，單調性質都相同；圖象互為軸對稱，Ｙ＝Ｘ是對稱軸；

求解非常有規律，反解換元定義域；反函數的定義域，原來函數的值域。

冪函數性質易記，指數化既約分數；函數性質看指數，奇母奇子奇函數，

奇母偶子偶函數，偶母非奇偶函數；圖象第一象限內，函數增減看正負。

二、《三角函數》

三角函數是函數，象限符號座標注。函數圖象單位圓，週期奇偶增減現。

同角關係很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割；

中心記上數字１，連結頂點三角形；向下三角平方和，倒數關係是對角，

頂點任意一函數，等於後面兩根除。誘導公式就是好，負化正後大化小，

變成税角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化餘偶不變，

將其後者視鋭角，符號原來函數判。兩角和的餘弦值，化為單角好求值，

餘弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互餘角度變名稱。

計算證明角先行，注意結構函數名，保持基本量不變，繁難向着簡易變。

逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用；

１加餘弦想餘弦，１減餘弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為範；

三角函數反函數，實質就是求角度，先求三角函數值，再判角取值範圍；

利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集；

三、《不等式》

解不等式的途徑，利用函數的性質。對指無理不等式，化為有理不等式。

高次向着低次代，步步轉化要等價。數形之間互轉化，幫助解答作用大。

證不等式的方法，實數性質威力大。求差與０比大小，作商和１爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數學歸納法。圖形函數來幫助，畫圖建模構造法。

四、《數列》

等差等比兩數列，通項公式Ｎ項和。兩個有限求極限，四則運算順序換。

數列問題多變幻，方程化歸整體算。數列求和比較難，錯位相消巧轉換，

取長補短高斯法，裂項求和公式算。歸納思想非常好，編個程序好思考：

一算二看三聯想，猜測證明不可少。還有數學歸納法，證明步驟程序化：

首先驗證再假定，從Ｋ向着K加１，推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。

五、《複數》

虛數單位ｉ一出，數集擴大到複數。一個複數一對數，橫縱座標實虛部。

對應複平面上點，原點與它連成箭。箭桿與Ｘ軸正向，所成便是輻角度。

箭桿的長即是模，常將數形來結合。代數幾何三角式，相互轉化試一試。

代數運算的實質，有ｉ多項式運算。ｉ的正整數次慕，四個數值週期現。

一些重要的結論，熟記巧用得結果。虛實互化本領大，複數相等來轉化。

利用方程思想解，注意整體代換術。幾何運算圖上看，加法平行四邊形，

減法三角法則判；乘法除法的運算，逆向順向做旋轉，伸縮全年模長短。

三角形式的運算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。

輻角運算很奇特，和差是由積商得。四條性質離不得，相等和模與共軛，

兩個不會為實數，比較大小要不得。複數實數很密切，須注意本質區別。

六、《排列、組合、二項式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。

兩個公式兩性質，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應用問題須轉化。

排列組合在一起，先選後排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。

不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恆等式，定義證明建模試。

關於二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式，函數賦值變換式。

七、《立體幾何》

點線面三位一體，柱錐枱球為代表。距離都從點出發，角度皆為線線成。

垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和麪面、三對之間循環現。

方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形。

立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對於解題最關鍵。

異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質三垂線，解決問題一大片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數方程極座標，數形結合稱典範。

笛卡爾的觀點對，點和有序實數對，兩者—一來對應，開創幾何新途徑。

兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都説待定係數法，實為方程組思想。

三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關係判。

四件工具是法寶，座標思想參數好；平面幾何不能丟，旋轉變換複數求。

解析幾何是幾何，得意忘形學不活。圖形直觀數入微，數學本是數形學。

一、改進，要有一個良好的習慣

良好的是長期、系統積累的過程，一個人只有不斷地接受新，不斷地產生疑問，不斷地總結，才能不斷地提高。應通過與、同學平時的交流，逐步地總結出一般性的學習規律，包括：制定計劃、課前、專心上課、及時、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面，簡單概括為四個環節(、上課、整理、作業)和一個步驟(總結)。每一個環節都有較深刻的內容，帶有較強的目的性、針對性，要落實到位。

在上應注意培養的好習慣。聽是主要的，把老師講的`關鍵部分聽懂，而且重點聽老師對問題的分析過程，聽的時候注意思考，分析問題，但是光聽不記或光記不聽，必然會顧此失彼，因此適當的記筆記，領會老師課上的意圖和精神。在、課外練習中應注意培養寫作業的習慣，作業不僅要書寫工整，而且還要有條理，這樣可以培養邏輯。同時作業必須獨立完成，培養一種獨立思考的好習慣

二、提高課堂的四點建議

1.瞭解知識的形成過程理解其內涵，切忌死記硬背。

的概念、定義、公式、定理等都是的基礎，這些知識的形成過程容易被忽視。事實上，這些知識的形成過程正是能力的培養過程。一個定理的證明，往往是新知識的發現過程，在掌握知識的過程中，促進了能力的發展。如反函數概念如何形成?構造性的定義給出了求反函數的方法和步驟及互為反函數其圖象的對稱關係。

2.有問題及時問，並做總結和記錄

在課堂上，老師都會提問，有時還伴隨着問題的討論，對於典型問題，帶有普遍性的問題必須及時解決，不能把問題遺留下來，甚至積累下來，發現問題應及時解決，遺留問題要及時解決。

3.學會總結技巧方法能夠形成自己的解題思路

要合理選擇簡捷的運算途徑，這不僅是迅速運算的需要，也是運算準確性的需要，運算的步驟越大，出錯的可能性也就越大。因而根據問題的條件和要求，合理地選擇簡捷的運算途徑，不但是提高運算能力的關鍵，也是提高其它數學能力的有效途徑。如給定兩個集合如何構成映射，能構成多少個映射?如何構成函數，能構成多少個函數等。

4.平時勤思考多鍛鍊自己的

學會把抽象思維形象化具體化是數學學習的一個能力。數學學科擔負着培養運算能力、邏輯、空間能力以及運用所學知識分析問題、解決問題的重任，它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性與廣泛的應用性，對能力的要求較高。數學能力只有在數學思想方法不斷應用中才能得到培養和提高。

三、學會數學複習的歸納總結

1.重視基礎

重視基本概念、基本理論，並強化;“舉一反三，觸類旁通”，對典型例題重點掌握，揣摩命題者的意圖，歸納全面的解題方法。只有積累一定的典型習題才能保證解題方法的準確性、簡捷性和完備性;認真做好練習題，採用循環交替、螺旋式推進的方法，避免出現對基本知識、基本方法遺忘的現象。

2.從宏觀把握知識整體

認識課本知識間的橫向聯繫，瞭解各部分內容在中所佔的分值、地位和難易程度，有針對性地複習、梳理重點內容，突破自己的薄弱環節，力求從宏觀上把握數學的知識體系，建立自己的解題方法體系和思維體系。

3 高中生物.掌握高中常用的數學思想方法

學習過程中所接觸到的數學思想方法一般分為三類：第一類是用於解題的具體操作性的方法，如配方法、換元法、消元法、待定係數法、判別式法、錯位相減法、迭代法、割補法、特值法等;第二類則是用於指導解題的邏輯性的方法，如綜合法、分析法、反證法、類比法、探索法、歸納法、解析法等;第三類則是在數學學習過程中形成的對於數學解題甚至於對於其它問題的解決都具有宏觀指導意義的數學思想方法，如函數思想、方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想等。複習中要關注它們的應用，形成學以致用的習慣。

4.進行解題後的再思考

多思考自己的不足，為什麼初次解題時沒有想到。差在哪，並作深刻總結而且要做記錄解題後，要思考題中易混易錯的地方，總結經驗，提高辨析錯誤的能力。

5.錯題本的存在

分清錯誤的原因：概念模糊、粗心大意、顧此失彼、圖形畫錯、思路問題等等，要注意對錯題的分析講解，該題的引入語、解題的切入口、思路突破方法、解題的技巧、規範步驟及小結的講解等等，並在錯題的一邊註釋解題過程，找出做題時障礙產生的原因及根源的分析。整理錯題集時，一定要有恆心和毅力，而且要多看多回顧多複習。不要在乎時間的多少，對於相關知識點的整理與總結，雖然繁雜，但其作用決不僅僅是明白了一道錯題怎樣求解這麼簡單，更重要的是通過整理錯題本，你將學會如何學數學、如何研究數學，避免在以後的學習中出現類似的錯誤。

　第一：函數與方程思想

（1）函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數列、解析幾何等其他內容時，起着重要作用

（2）方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎

大學聯考把函數與方程思想作為七種重要思想方法重點來考查

　第二：數形結合思想

（1）數學研究的對象是數量關係和空間形式，即數與形兩個方面

（2）在一維空間，實數與數軸上的點建立一一對應關係

在二維空間，實數對與座標平面上的點建立一一對應關係

數形結合中，選擇、填空側重突出考查數到形的轉化，在解答題中，考慮推理論證嚴密性，突出形到數的轉化

第三：分類與整合思想

（1）分類是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法

（2）從具體出發，選取適當的分類標準

（3）劃分只是手段，分類研究才是目的

（4）有分有合，先分後合，是分類整合思想的本質屬性

（5）含字母參數數學問題進行分類與整合的研究，重點考查學生思維嚴謹性與周密性

第四：化歸與轉化思想

（1）將複雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題

（2）靈活性、多樣性，無統一模式，利用動態思維，去尋找有利於問題解決的變換途徑與方法

（3）大學聯考重視常用變換方法：一般與特殊的轉化、繁與簡的轉化、構造轉化、命題的等價轉化

　第五： 特殊與一般思想

（1）通過對個例認識與研究，形成對事物的認識

（2）由淺入深，由現象到本質、由局部到整體、由實踐到理論

（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反覆認識過程

（4） 構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊點、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程

（5） 大學聯考以新增內容為素材，突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向

第六：有限與無限的思想：

（1）把對無限的研究轉化為對有限的研究，是解決無限問題的必經之路

（2）積累的解決無限問題的經驗，將有限問題轉化為無限問題來解決是解決的方向

（3）立體幾何中求球的表面積與體積，採用分割的方法來解決，實際上是先進行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數學思想的應用

（4）隨着高中課程改革，對新增內容考查深入，必將加強對有限與無限的考查

　　第七：或然與必然的思想：

（1）隨機現象兩個最基本的特徵，一是結果的隨機性，二是頻率的穩定性

（2）偶然中找必然，再用必然規律解決偶然

（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率、獨立重複試驗、隨機事件的分佈列、數學期望是考查的重點 。