數學向量知識點

在平日的學習中，大家最熟悉的就是知識點吧？知識點就是學習的重點。掌握知識點是我們提高成績的關鍵！下面是小編精心整理的數學向量知識點，希望能夠幫助到大家。

平面向量

戴氏航天學校老師總結加法與減法的代數運算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )則a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

戴氏航天學校老師總結向量加法有如下規律：+= +(交換律); +( +c)=( + )+c (結合律);

兩個向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b= .

(2) 若=(),b=()則‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，戴氏航天學校老師提醒有且只 有一對實數，，使得= e1+ e2

大學聯考數學必修四學習方法

養成良好的課前和課後學習習慣：在當前高中數學學習中，培養正確的學習習慣是一項重要的學習技能。雖然有一種刻板印象的猜疑，但在高中數學學習真的是反覆嘗試和錯誤的。學生們不得不預習課本。我準備的數學教科書不是簡單的閲讀，而是一個例子，至少十分鐘的思考。在使用前不能通過學習知識解決問題的情況下，可以在教學內容中找到答案，然後在教材會考察問題的解決過程，掌握解決問題的思路。同時，在課堂上安排筆記也是必要的。在高中數學研究中，建議採用兩種形式的筆記，一種是課堂速記，另一種是課後筆記。這不僅提高了課堂記憶的吸收能力，而且有助於對筆記內容的查詢。

大學聯考數學必修四學習技巧

養成良好的學習數學習慣

多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，並永久記憶在自己的腦海中。良好的學習數學習慣包括課前自學、專心上課、及時複習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。

及時瞭解、掌握常用的數學思想和方法

中學數學學習要重點掌握的的數學思想有以上幾個：集合與對應思想，分類討論思想，數形結合思想，運動思想，轉化思想，變換思想。

有了數學思想以後，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定係數、數學歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。在具體的方法中，常用的有：觀察與實驗，聯想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。

1.平面向量的數量積

平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，把數量|a||b|cos 叫做a和b的數量積(或內積)，記作ab.即ab=|a||b|cos ，規定0a=0.

2.向量數量積的運算律

(1)ab=ba

(2)(a)b=(ab)=a(b)

(3)(a+b)c=ac+bc

[探究] 根據數量積的運算律，判斷下列結論是否成立.

(1)ab=ac，則b=c嗎?

(2)(ab)c=a(bc)嗎?

提示：(1)不一定，a=0時不成立，

另外a0時，ab=ac.由數量積概念可知b與c不能確定;

(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.

(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當a與c不共線時它們必不相等.

向量的的數量積

定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量，記作ab。若a、b不共線，則ab=abcos〈a，b〉;若a、b共線，則ab=+-?a??b?。

向量的數量積的座標表示：ab=xx'+yy'。

向量的數量積的運算律

ab=ba(交換律);

(λa)b=λ(ab)(關於數乘法的結合律);

(a+b)c=ac+bc(分配律);

向量的數量積的性質

aa=a的平方。

a⊥b 〈=〉ab=0。

ab≤ab。

向量的數量積與實數運算的主要不同點

1、向量的數量積不滿足結合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。

3、ab≠ab

4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。

1．有向線段的定義

線段的端點A為始點，端點B為終點，這時線段AB具有射線AB的方向.像這樣，具有方向的線段叫做有向線段.記作：.

2.有向線段的三要素：有向線段包含三個要素：始點、方向和長度.

3.向量的定義：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有兩個要素：大小和方向.

(2)向量的表示方法：①用兩個大寫的英文字母及前頭表示，有向線段來表示向量時，也稱其為向量.書寫時，則用帶箭頭的小寫字母，，，來表示.

4.向量的長度（模）：如果向量=，那麼有向線段的長度表示向量的大小，叫做向量的長度(或模)，記作||.

5．相等向量：如果兩個向量和的方向相同且長度相等，則稱和相等，記作：=.

6．相反向量：與向量等長且方向相反的向量叫做的相反向量，記作：-.

7．向量平行（共線）：如果兩個向量方向相同或相反，則稱這兩個向量平行，向量平行也稱向量共線.向量平行於向量，記作//.規定： //.

8．零向量：長度等於零的向量叫做零向量，記作：.零向量的方向是不確定的，是任意的.由於零向量方向的特殊性，解答問題時，一定要看清題目中是零向量還是非零向量.

9．單位向量：長度等於1的向量叫做單位向量.

10．向量的加法運算：

(1)向量加法的三角形法則

1１．向量的減法運算

12、兩向量的和差的模與兩向量模的和差之間的關係

對於任意兩個向量，，都有|||-|||||+||.

13．數乘向量的定義：

實數和向量的乘積是一個向量，這種運算叫做數乘向量，記作.

向量的長度與方向規定為：(1)||=|

(2)當0時，與方向相同;當0時，與方向相反.

(3)當=0時，當=時，=.

14．數乘向量的運算律：(1))= (結合律)

(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)

15．平行向量基本定理

如果向量，則//的充分必要條件是，存在唯一的實數，使得=.

如果與不共線，若m=n，則m=n=0.

16．非零向量的單位向量：非零向量的單位向量是指與同向的單位向量，通常記作.

=||，即==(，)

17．線段中點的向量表達式

點M是線段AB的中點，O是平面內任意一點，則=(+).

18．平面向量的直角座標運算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，則

+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).

19．利用兩點表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1).

20.兩向量相等和平行的條件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，則

=a1=b1且a2=b2.

//a1b2-a2b1=0.特別地，如果b10，b20，則// =.

21．向量的長度公式：若=(a1，a2)，則||=.

22．平面上兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||=.

23．中點公式

若點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，點M(x，y)是線段AB的中點，則x=，y= .

24．重心公式

在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC的重心為G(x，y)，則

x=，y=

2５．（1)兩個向量夾角的`取值範圍是[0，p]，即0，p.

當=0時，與同向;當=p時，與反向

當= 時，與垂直，記作.

(3)向量的內積定義：=||||cos.

其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的數量.規定=0.

(4)內積的幾何意義

與的內積的幾何意義是的模與在方向上的正射影的數量，或的模與在 方向上的正射影數量的乘積

當0，90時，0;=90時，

90時，0.

26．向量內積的運算律：

(1)交換率

(2)數乘結合律

(3)分配律

(4)不滿足組合律

27．向量內積滿足乘法公式

29．向量內積的應用：

1、平面向量基本概念

有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作或AB；

向量的模：有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|；

零向量：長度等於0的向量叫做零向量，記作或0。（注意粗體格式，實數“0”和向量“0”是有區別的，書寫時要在實數“0”上加箭頭，以免混淆）；

相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量；

平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a；

單位向量：模等於1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示，平行於座標軸的單位向量習慣上分別用i、j表示。

相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

2、平面向量運算

加法與減法的代數運算：

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）則a b=（x1+x2，y1+y2）。

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

向量加法有如下規律：+ = +（交換律）；+（+c）=（+）+c（結合律）；

實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量。

（1）| |=| |·| |；

（2）當a>0時，與a的方向相同；當a<0時，與a的方向相反；當a=0時，a=0。

兩個向量共線的充要條件：

（1）向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b= 。

（2）若=（），b=（）則‖b 。

3、平面向量基本定理

若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，，使得= e1+ e2。

4、平面向量有關推論

三角形ABC內一點O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，則點O是三角形的垂心。

若O是三角形ABC的外心，點M滿足OA+OB+OC=OM，則M是三角形ABC的垂心。

若O和三角形ABC共面，且滿足OA+OB+OC=0，則O是三角形ABC的重心。

三點共線：三點A，B，C共線推出OA=μOB+aOC（μ+a=1）

1.向量的基本概念

(1)向量

既有大小又有方向的量叫做向量.物理學中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.

向量可以用一條有向線段(帶有方向的線段)來表示，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一個小寫字母a，b，c表示，或用兩個大寫字母加表示(其中前面的字母為起點，後面的字母為終點)

(5)平行向量

方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共線向量.

若向量a、b平行，記作a∥b.

規定：0與任一向量平行.

(6)相等向量

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

①向量相等有兩個要素：一是長度相等，二是方向相同，二者缺一不可.

②向量a，b相等記作a=b.

③零向量都相等.

④任何兩個相等的非零向量，都可用同一有向線段表示，但特別要注意向量相等與有向線段的起點無關.

2.對於向量概念需注意

(1)向量是區別於數量的一種量，既有大小，又有方向，任意兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但向量的模可以比較大小.

(2)向量共線與表示它們的有向線段共線不同.向量共線時，表示向量的有向線段可以是平行的，不一定在同一條直線上;而有向線段共線則是指線段必須在同一條直線上.

(3)由向量相等的定義可知，對於一個向量，只要不改變它的大小和方向，它是可以任意平行移動的，因此用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點，由此也可得到：任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上.

3.向量的運算律

(1)交換律：α+β=β+α

(2)結合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)

(3)數量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα

(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ

高中數學學習方法

掌握數學學習實踐階段:在高中數學學習過程中,我們需要使用正確的學習方法,以及科學合理的學習規則。先生著名的日本教育在米山國藏在他的數學精神、思想和方法,曾經説過,尤其是高階段的數學學習數學,必須遵循“分層原則”和“循序漸進”的原則。與教學內容的第一週甚至是從基礎開始,一週後的頭幾天,在教學難以提升。以及提升的困難進步一步一步,最好不要去追求所謂的“困難”除了(感興趣),不利於解決問題方法掌握連續性。同時,根據時間和課程安排的長度適當的審查,只有這樣才能記住和使用在長期學習數學知識,不要忘記前面的學習。

高中數學學習技巧

1不亂買輔導書。

關於數學，我一本輔導書都沒買(高三)，從高三發的第一張卷子起到最後一張我大學聯考結束後全部留着，厚厚的三打。這些卷子留好後你從第一張看的時候和輔導書是一樣一樣的 因為高三複習的時候都是按章節來的，所以條目很清晰。

1每一張卷子不留題。

不留錯題和不明白的題，把每一個題目都弄明白，不會的就去問別人問老師。我一開始也不好意思去問老師，因為我基礎太差了，可能我不會的題其實只是一個公式題，所以我都是問周圍的同學，所幸我周圍一圈學霸，每一個都被我問煩了要 在這裏要感謝一下他們～

1整理錯題。

這個其實真的挺重要，但我前面也説過，我是一個超懶的人，所以我沒有做 但是我在後期快三模的時候意識到了這個的重要性，所以把所有卷子集中起來把錯題回顧了一遍，不一定動筆(太懶)去做，在腦子裏想一遍，一般只用不到一分鐘一道，這個時間什麼時候都抽得出來的。

1整理筆記。

關於數學的筆記我有兩本，一個是我們老師總結的一些方法和技巧，一些公式的記憶以及法則概念之類的(這個要好好記!做題的時候經常用到!沒有公式做題簡直是… )另一本是關於一些好題難題錯題典型題，把這些題從紙上剪下來貼到本子上再做一遍，到大學聯考前我把這個錯題本又全部重新做了一遍(當然，這個由於太懶，有的題有點三天打漁兩天曬網 )

1關於卷子。

由於筆記要剪下來(這年頭誰還自己抄題快去給我站牆角!)貼到筆記上，所以我都是要兩張卷子(老師都是直接問誰要兩張自己留下就行)，兩張卷子一張自己做，另一張用來剪題(有的時候正反面都有就很討厭啦 所以我有的時候拿三張 )

ps：自己做的那張卷子呢做完聽題的時候要做好標記，答主有一套晨光的彩色筆，還蠻好用，把不會的題在題號標一種顏色，會但是典型的一種顏色。

一定要把做題過程在卷子上寫清楚!一定要把做題過程在卷子上寫清楚!一定要把做題過程在卷子上寫清楚!重要的事説三遍!否則你看卷子時説忘就忘哭都沒地方哭

1關於老師。

答主老師長的帥啊 大於一切優點啊 要努力尋找老師的閃光點，畢竟老師對於學習興趣還是影響很大的。

1補充。

我們老師當時特別喜歡給我們做模擬題，都是他做了的題然後剪貼出來的卷子，所以每道題都很好也是我説過不留題的原因。因為做套題的時候就算你很多都不懂，但是選擇題中的集合那些題總都會做，不至於像做導數數列那些單元的卷子一樣欲哭無淚=_=(數學不好的人都懂我!)所以可以多做套題來增強自己的信心。

1信心。

當時數學就算很不好的時候我也沒有放棄過，有一股謎一樣的自信覺得我一定能學好…別問我為什麼…我也不知道…總之就是對自己有信心一點!一定會成功!

　　1．基本概念：

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

　　2． 加法與減法的代數運算：

(1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）則a b=（x1+x2,y1+y2 ）．

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

向量加法有如下規律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結合律）;

　　3．實數與向量的積：實數 與向量 的積是一個向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜｜ ｜;

(2) 當 a＞0時， 與a的方向相同；當a＜0時， 與a的方向相反；當 a=0時，a=0．

兩個向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數 ，使得b= ．

(2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ．

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 ， ，使得 = e1+ e2．

　　4．P分有向線段 所成的比：

設P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同於P1、P2的任意一點，則存在一個實數 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。

當點P在線段 上時， ＞0；當點P在線段 或 的延長線上時， ＜0；

分點座標公式：若 = ； 的座標分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ －1）， 中點座標公式： ．

　　5． 向量的數量積：

（1）．向量的夾角：

已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。

（2）．兩個向量的數量積：

已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 b=｜ ｜｜b｜cos ．

其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的數量積的性質：

若 =（ ）,b=（ ）則e = e=｜ ｜cos (e為單位向量);

b b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ;

cos = = ．

(4) ．向量的數量積的運算律：

b=b( )b= ( b)= ( b);( ＋b)c= c+bc．

　　6.主要思想與方法：

本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關係，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由於向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。

數乘向量

實數和向量a的乘積是一個向量，記作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

當0時，a與a同方向;

當0時，a與a反方向;

當=0時，a=0，方向任意。

當a=0時，對於任意實數，都有a=0。

注：按定義知，如果a=0，那麼=0或a=0。

實數叫做向量a的係數，乘數向量a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當∣∣1時，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上伸長為原來的∣∣倍;

當∣∣1時，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上縮短為原來的∣∣倍。

數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(a)b=(ab)=(ab)。

向量對於數的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a.

數對於向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b.

數乘向量的消去律：① 如果實數0且a=b，那麼a=b。② 如果a0且a=a，那麼=。

【考綱解讀】

1.理解平面向量的概念與幾何表示、兩個向量相等的含義;掌握向量加減與數乘運算及其意義;理解兩個向量共線的含義,瞭解向量線性運算的性質及其幾何意義.

2.瞭解平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其座標表示;會用座標表示平面向量的加法、減法與數乘運算;理解用座標表示的平面向量共線的條件.

3.理解平面向量數量積的含義及其物理意義;瞭解平面向量數量積與向量投影的關係;掌握數量積的座標表達式,會進行平面向量數量積的運算;能運用數量積表示兩個向量的夾角,會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關係.

　　【考點預測】

大學聯考對平面向量的考點分為以下兩類:

(1)考查平面向量的概念、性質和運算,向量概念所含內容較多,如單位向量、共線向量、方向向量等基本概念和向量的加、減、數乘、數量積等運算，大學聯考中或直接考查或用以解決有關長度，垂直，夾角，判斷多邊形的形狀等，此類題一般以選擇題形式出現，難度不大.

(2)考查平面向量的綜合應用.平面向量常與平面幾何、解析幾何、三角等內容交叉滲透，使數學問題的情境新穎別緻，自然流暢，此類題一般以解答題形式出現，綜合性較強.

　　【要點梳理】

1.向量的加法與減法:掌握平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則，加法的運算律;

2.實數與向量的乘積及是一個向量，熟練其含義;

3.兩個向量共線的條件:平面向量基本定理、向量共線的座標表示;

4.兩個向量夾角的範圍是:[0,π]

5.向量的數量積:熟練定義、性質及運算律，向量的模，兩個向量垂直的充要條件.

向量的概念、向量的基本定理

【內容解讀】瞭解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動的，平移後所得向量與原向量相同;兩個向量無法比較大小，它們的模可比較大小。

考點二：向量的運算

【內容解讀】向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則、三角形法則進行向量的加減運算;掌握實數與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關係;掌握向量的數量積的運算，體會平面向量的數量積與向量投影的關係，並理解其幾何意義，掌握數量積的座標表達式，會進行平面向量積的運算，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關係。

【命題規律】命題形式主要以選擇、填空題型出現，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的座標運算，有時也會與其它內容相結合。

考點三：定比分點

【內容解讀】掌握線段的定比分點和中點座標公式，並能熟練應用，求點分有向線段所成比時，可藉助圖形來幫助理解。

【命題規律】重點考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現，難度一般。由於向量應用的廣泛性，經常也會與三角函數，解析幾何一併考查，若出現在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。

考點四：向量與三角函數的綜合問題

【內容解讀】向量與三角函數的綜合問題是大學聯考經常出現的問題，考查了向量的知識，三角函數的知識，達到了大學聯考中試題的覆蓋面的要求。

【命題規律】命題以三角函數作為座標，以向量的座標運算或向量與解三角形的內容相結合，也有向量與三角函數圖象平移結合的問題，屬中檔偏易題。

考點五：平面向量與函數問題的交匯

【內容解讀】平面向量與函數交匯的問題，主要是向量與二次函數結合的問題為主，要注意自變量的取值範圍。

【命題規律】命題多以解答題為主，屬中檔題。

考點六：平面向量在平面幾何中的應用

【內容解讀】向量的座標表示實際上就是向量的代數表示.在引入向量的座標表示後，使向量之間的運算代數化，這樣就可以將“形”和“數”緊密地結合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉化為大家熟悉的代數運算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當的座標系中，賦予幾何圖形有關點與平面向量具體的座標，這樣將有關平面幾何問題轉化為相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.

【命題規律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。

成績不理想的原因

1、對知識點的理解停留在一知半解的層次上;

2、解題始終不能把握其中關鍵的數學技巧，孤立的看待每一道題，缺乏舉一反三的能力;

3、解題時，小錯誤太多，始終不能完整的解決問題;

4、解題效率低，在規定的時間內不能完成一定量的題目，不適應考試節奏;

5、未養成總結歸納的習慣，不能習慣性的歸納所學的知識點;

6、學習缺少科學性，上課不認真記筆記，課後不能及時鞏固、複習;忙於應付作業，對知識不求甚解。

7、忽視基礎，有些“自我感覺良好”的學生，常輕視基礎知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎麼做就算了，而不去認真演算書寫，反而對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠，重“量”輕“質”，沒有堅實的基礎和基本功，到考試時取得不了高分;

8、忽視作業或練習，缺乏對問題的深入思考，有時練習冊上的答案由於印刷錯誤，孩子們作業做完後核對答案時不相信自己的結論，把自己的答案一劃，把錯誤答案抄上;書寫規範性差;

9、周練考試出錯率高，一種是一時想不出怎麼做，事後會做，臨場狀態不好;第二種是表面上會做，但由於審題不仔細，對概念理解不清，計算不準確;第三種是時間不夠，解題速度慢，平時做題習慣不好，不講速度;第四種是根本做不出來，基本功不行，更欠缺融會貫通能力。

集合的特性

1、確定性

給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。

2、互異性

一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

3、無序性

一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。