三年級奧數知識：一筆畫問題

哥尼斯堡是一座人傑地靈的名城。在這裏，帕瑞格爾河從城中穿過，河中有兩個小島A與D，河上有七座橋連結這兩個島及河的兩岸B、C（圖1）。人們提出一個問題：能否經過每座橋恰好一次，既無重複也無遺漏，為了便於解決實際生活中的一筆畫問題，可以把類似這樣的問題進一步抽象成一般的數學圖??一種簡單的幾何圖形，如圖1可抽象成幾何圖2（用點A、B、C、D表示四塊陸地，用連結這些點的線表示七座橋，這樣就便於研究它。）

實際問題是否一筆畫，應具備的條件有：

（1）必須是連通圖形（如△，而非○）；

（2）對於圖中的任何一點，有偶數條線段與之相連的連通圖能夠一筆畫（如□，☆）。畫時可以以一“偶數點”為起點，最後仍回到起點。

（3）只有兩個奇數條線段與之相連的點的連通圖也能一筆畫，畫時必須以一“奇數點”為起點，以另一“奇數點”為終點。

（4）有超過兩個“奇數點”的連通圖不能一筆畫。

〔問題解決〕

1.“七橋問題”中“奇數點”個數為4個，所以不能一筆畫成。

2.你能筆尖不離紙，一筆畫出圖3的每個圖形嗎？

分析 圖（a）有兩個奇數點，可從任一“奇數點”出發，以另一“奇數點”為終點一筆畫出。A→B→C→A→D→C；圖（b）、圖（C）都是“偶數點”的'連通圖，可從任一點出發，一筆畫出。如圖（b）A→G→C→B→F→H→B→A，圖（c）A→B→E→B→C→i→l→E→D→F→J→H→i→c→A

3.數學興趣小組的同學們不但會制“七巧板”，還會制“六巧板”、“四巧板”呢。圖4是用小華制的“四巧板”拼成的“船”。如果畫在一張紙上你能否用剪刀一次連續剪下“船”中的每個圖形嗎？再還原拼成“四巧板”。

分析 一次連續剪下圖中的四個圖形，要求剪刀必須連續剪過圖中所有的線，即問題的實質是這個圖能否一筆畫。顯然，圖中只有兩個“奇數點”A、D，因此，可以很快判斷能辦到，剪刀所走的路線可以是：A→B→C→A→D→C→G→H→I→J→G→F→E→D。

剪好後拼成原“四巧板”即為圖5。

4.圖6是一個公園的平面圖，要使遊客走遍公園每條路而不重複，問出入口應設在哪裏？

分析 本題實際上是問這個圖以哪點為起點與終點的問題，觀察圖6可以發現；圖中10個點中僅有兩個“奇數點”A與I，因此出入口應設在A點與I點。