數學向量的知識點
在日復一日的學習中，是不是經常追着老師要知識點？知識點就是學習的重點。哪些知識點能夠真正幫助到我們呢？下面是小編幫大家整理的數學向量知識點，歡迎閲讀，希望大家能夠喜歡。
數學向量的知識點1
1.向量的基本概念
(1)向量
既有大小又有方向的量叫做向量.物理學中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.
向量可以用一條有向線段(帶有方向的線段)來表示，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一個小寫字母a，b，c表示，或用兩個大寫字母加表示(其中前面的字母為起點，後面的字母為終點)
(5)平行向量
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共線向量.
若向量a、b平行，記作a∥b.
規定：0與任一向量平行.
(6)相等向量
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
①向量相等有兩個要素：一是長度相等，二是方向相同，二者缺一不可.
②向量a，b相等記作a=b.
③零向量都相等.
④任何兩個相等的非零向量，都可用同一有向線段表示，但特別要注意向量相等與有向線段的起點無關.
2.對於向量概念需注意
(1)向量是區別於數量的一種量，既有大小，又有方向，任意兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但向量的模可以比較大小.
(2)向量共線與表示它們的有向線段共線不同.向量共線時，表示向量的有向線段可以是平行的，不一定在同一條直線上;而有向線段共線則是指線段必須在同一條直線上.
(3)由向量相等的定義可知，對於一個向量，只要不改變它的大小和方向，它是可以任意平行移動的，因此用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點，由此也可得到：任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上.
3.向量的運算律
(1)交換律：α+β=β+α
(2)結合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)
(3)數量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα
(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ
數學向量的知識點2
1.平面向量的數量積
平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，把數量|a||b|cos 叫做a和b的數量積(或內積)，記作ab.即ab=|a||b|cos ，規定0a=0.
2.向量數量積的運算律
(1)ab=ba
(2)(a)b=(ab)=a(b)
(3)(a+b)c=ac+bc
[探究] 根據數量積的運算律，判斷下列結論是否成立.
(1)ab=ac，則b=c嗎?
(2)(ab)c=a(bc)嗎?
提示：(1)不一定，a=0時不成立，
另外a0時，ab=ac.由數量積概念可知b與c不能確定;
(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.
(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當a與c不共線時它們必不相等.
數學向量的知識點3
1、平面向量基本概念
有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作或AB；
向量的模：有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|；
零向量：長度等於0的向量叫做零向量，記作或0。（注意粗體格式，實數“0”和向量“0”是有區別的，書寫時要在實數“0”上加箭頭，以免混淆）；
相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量；
平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a；
單位向量：模等於1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示，平行於座標軸的單位向量習慣上分別用i、j表示。
相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
2、平面向量運算
加法與減法的代數運算：
（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）則a b=（x1+x2，y1+y2）。
向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。
向量加法有如下規律：+ = +（交換律）；+（+c）=（+）+c（結合律）；
實數與向量的積：實數與向量的'積是一個向量。
（1）| |=| |·| |；
（2）當a>0時，與a的方向相同；當a<0時，與a的方向相反；當a=0時，a=0。
兩個向量共線的充要條件：
（1）向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b= 。
（2）若=（），b=（）則‖b 。
3、平面向量基本定理
若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，，使得= e1+ e2。
4、平面向量有關推論
三角形ABC內一點O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，則點O是三角形的垂心。
若O是三角形ABC的外心，點M滿足OA+OB+OC=OM，則M是三角形ABC的垂心。
若O和三角形ABC共面，且滿足OA+OB+OC=0，則O是三角形ABC的重心。
三點共線：三點A，B，C共線推出OA=μOB+aOC（μ+a=1）
數學向量的知識點4
平面向量
戴氏航天學校老師總結加法與減法的代數運算：
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )則a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。
戴氏航天學校老師總結向量加法有如下規律：+= +(交換律); +( +c)=( + )+c (結合律);
兩個向量共線的充要條件：
(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b= .
(2) 若=(),b=()則‖b .
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，戴氏航天學校老師提醒有且只 有一對實數，，使得= e1+ e2
數學向量的知識點5
向量的的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量，記作ab。若a、b不共線，則ab=abcos〈a，b〉;若a、b共線，則ab=+-?a??b?。
向量的數量積的座標表示：ab=xx+yy。
向量的數量積的運算律
ab=ba(交換律);
(λa)b=λ(ab)(關於數乘法的結合律);
(a+b)c=ac+bc(分配律);
向量的數量積的性質
aa=a的平方。
a⊥b 〈=〉ab=0。
ab≤ab。
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。
3、ab≠ab
4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。
數學向量的知識點6
1．有向線段的定義
線段的端點A為始點，端點B為終點，這時線段AB具有射線AB的方向.像這樣，具有方向的線段叫做有向線段.記作：.
2.有向線段的三要素：有向線段包含三個要素：始點、方向和長度.
3.向量的定義：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有兩個要素：大小和方向.
(2)向量的表示方法：①用兩個大寫的英文字母及前頭表示，有向線段來表示向量時，也稱其為向量.書寫時，則用帶箭頭的小寫字母，，，來表示.
4.向量的長度（模）：如果向量=，那麼有向線段的長度表示向量的大小，叫做向量的長度(或模)，記作||.
5．相等向量：如果兩個向量和的方向相同且長度相等，則稱和相等，記作：=.
6．相反向量：與向量等長且方向相反的向量叫做的相反向量，記作：-.
7．向量平行（共線）：如果兩個向量方向相同或相反，則稱這兩個向量平行，向量平行也稱向量共線.向量平行於向量，記作//.規定： //.
8．零向量：長度等於零的向量叫做零向量，記作：.零向量的方向是不確定的，是任意的.由於零向量方向的特殊性，解答問題時，一定要看清題目中是零向量還是非零向量.
9．單位向量：長度等於1的向量叫做單位向量.
10．向量的加法運算：
(1)向量加法的三角形法則
1１．向量的減法運算
12、兩向量的和差的模與兩向量模的和差之間的關係
對於任意兩個向量，，都有|||-|||||+||.
13．數乘向量的定義：
實數和向量的乘積是一個向量，這種運算叫做數乘向量，記作.
向量的長度與方向規定為：(1)||=|
(2)當0時，與方向相同;當0時，與方向相反.
(3)當=0時，當=時，=.
14．數乘向量的運算律：(1))= (結合律)
(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)
15．平行向量基本定理
如果向量，則//的充分必要條件是，存在唯一的實數，使得=.
如果與不共線，若m=n，則m=n=0.
16．非零向量的單位向量：非零向量的單位向量是指與同向的單位向量，通常記作.
=||，即==(，)
17．線段中點的向量表達式
點M是線段AB的中點，O是平面內任意一點，則=(+).
18．平面向量的直角座標運算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，則
+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).
19．利用兩點表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1).
20.兩向量相等和平行的條件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，則
=a1=b1且a2=b2.
//a1b2-a2b1=0.特別地，如果b10，b20，則// =.
21．向量的長度公式：若=(a1，a2)，則||=.
22．平面上兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||=.
23．中點公式
若點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，點M(x，y)是線段AB的中點，則x=，y= .
24．重心公式
在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC的重心為G(x，y)，則
x=，y=
2５．（1)兩個向量夾角的取值範圍是[0，p]，即0，p.
當=0時，與同向;當=p時，與反向
當= 時，與垂直，記作.
(3)向量的內積定義：=||||cos.
其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的數量.規定=0.
(4)內積的幾何意義
與的內積的幾何意義是的模與在方向上的正射影的數量，或的模與在 方向上的正射影數量的乘積
當0，90時，0;=90時，
90時，0.
26．向量內積的運算律：
(1)交換率
(2)數乘結合律
(3)分配律
(4)不滿足組合律
27．向量內積滿足乘法公式
29．向量內積的應用：
數學向量的知識點7
向量的概念、向量的基本定理
【內容解讀】瞭解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動的，平移後所得向量與原向量相同;兩個向量無法比較大小，它們的模可比較大小。
考點二：向量的運算
【內容解讀】向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則、三角形法則進行向量的加減運算;掌握實數與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關係;掌握向量的數量積的運算，體會平面向量的數量積與向量投影的關係，並理解其幾何意義，掌握數量積的座標表達式，會進行平面向量積的運算，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關係。
【命題規律】命題形式主要以選擇、填空題型出現，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的座標運算，有時也會與其它內容相結合。
考點三：定比分點
【內容解讀】掌握線段的定比分點和中點座標公式，並能熟練應用，求點分有向線段所成比時，可藉助圖形來幫助理解。
【命題規律】重點考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現，難度一般。由於向量應用的廣泛性，經常也會與三角函數，解析幾何一併考查，若出現在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。
考點四：向量與三角函數的綜合問題
【內容解讀】向量與三角函數的綜合問題是大學聯考經常出現的問題，考查了向量的知識，三角函數的知識，達到了大學聯考中試題的覆蓋面的要求。
【命題規律】命題以三角函數作為座標，以向量的座標運算或向量與解三角形的內容相結合，也有向量與三角函數圖象平移結合的問題，屬中檔偏易題。
考點五：平面向量與函數問題的交匯
【內容解讀】平面向量與函數交匯的問題，主要是向量與二次函數結合的問題為主，要注意自變量的取值範圍。
【命題規律】命題多以解答題為主，屬中檔題。
考點六：平面向量在平面幾何中的應用
【內容解讀】向量的座標表示實際上就是向量的代數表示.在引入向量的座標表示後，使向量之間的運算代數化，這樣就可以將“形”和“數”緊密地結合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉化為大家熟悉的代數運算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當的座標系中，賦予幾何圖形有關點與平面向量具體的座標，這樣將有關平面幾何問題轉化為相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.
【命題規律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。
數學向量的知識點8
【考綱解讀】
1.理解平面向量的概念與幾何表示、兩個向量相等的含義;掌握向量加減與數乘運算及其意義;理解兩個向量共線的含義,瞭解向量線性運算的性質及其幾何意義.
2.瞭解平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其座標表示;會用座標表示平面向量的加法、減法與數乘運算;理解用座標表示的平面向量共線的條件.
3.理解平面向量數量積的含義及其物理意義;瞭解平面向量數量積與向量投影的關係;掌握數量積的座標表達式,會進行平面向量數量積的運算;能運用數量積表示兩個向量的夾角,會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關係.
【考點預測】
大學聯考對平面向量的考點分為以下兩類:
(1)考查平面向量的概念、性質和運算,向量概念所含內容較多,如單位向量、共線向量、方向向量等基本概念和向量的加、減、數乘、數量積等運算，大學聯考中或直接考查或用以解決有關長度，垂直，夾角，判斷多邊形的形狀等，此類題一般以選擇題形式出現，難度不大.
(2)考查平面向量的綜合應用.平面向量常與平面幾何、解析幾何、三角等內容交叉滲透，使數學問題的情境新穎別緻，自然流暢，此類題一般以解答題形式出現，綜合性較強.
【要點梳理】
1.向量的加法與減法:掌握平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則，加法的運算律;
2.實數與向量的乘積及是一個向量，熟練其含義;
3.兩個向量共線的條件:平面向量基本定理、向量共線的座標表示;
4.兩個向量夾角的範圍是:[0,π]
5.向量的數量積:熟練定義、性質及運算律，向量的模，兩個向量垂直的充要條件.
數學向量的知識點9
數乘向量
實數和向量a的乘積是一個向量，記作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。
當0時，a與a同方向;
當0時，a與a反方向;
當=0時，a=0，方向任意。
當a=0時，對於任意實數，都有a=0。
注：按定義知，如果a=0，那麼=0或a=0。
實數叫做向量a的係數，乘數向量a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣∣1時，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上伸長為原來的∣∣倍;
當∣∣1時，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上縮短為原來的∣∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(a)b=(ab)=(ab)。
向量對於數的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a.
數對於向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b.
數乘向量的消去律：① 如果實數0且a=b，那麼a=b。② 如果a0且a=a，那麼=。
