國小數學教學解題策略的分析

一 加強解題策略教學的重要性

近年來美國國小數學中一項重要的改革就是加強解問題策略的教學。80年代初，美國全國數學教師協會曾提出解問題是中國小數學教學的重點，同時也提出數學的基本技能應包括比計算能力更多的內容，其中就有關於解題策略的問題。1988年在第六屆國際數學教育會議上也提出使學生學會使用解題的策略。80年代末，美國新擬訂的《中國小數學課程和評價標準》中，對這方面進一步加以強調，每個學段的第一條標準就是學習和應用解問題的策略。此後陸續在美國國小數學教科書中編入了有關解題策略的內容。

為什麼美國如此重視解題策略的教學呢？這是為了適應現代社會發展需要。美國數學教育工作者認為，美國已進入信息社會，需要能處理信息的人，能用數學方法解問題的人，因此使學生掌握解題的策略就成為數學教學必不可少的內容。這與過去美國國小數學中側重培養學生解決實際問題的能力有很大不同。過去的國小數學中解問題的教學目的只限於瞭解實際問題和能夠解決一些簡單的實際問題本身。而現在除了要達到上述目的以外，還要使學生掌握解問題的各種策略，培養一般的解題能力和處理信息的能力，開發學生的智力，使學生能夠適應不斷變化的社會，即使遇到新的問題也能夠應用已掌握的解題策略予以解決。顯然這是美國國小數學教學的一項重大改革措施。

二 教學解題策略的內容

美國國小數學中不採用“解應用題”這個名稱，而叫“解問題（solving problem）。”問題的範圍比我國所説的應用題的範圍廣泛，既包括實際應用的問題，也包括一些非實際應用的文字題、思考題。因此解題的策略也比較廣泛。既有一般的解題策略，又有特殊的解題策略；另外為適應現代信息社會的需要，還提出一些初步應用近代、現代數學方法解題的策略。下面分別作一簡單介紹。

（一）一般解題策略

在一般解題策略方面，主要是教學解題的一般步驟，這與我國國小數學中講的應用題的步驟基本相同。美國把解題步驟分為以下四步：1.理解題意；2.做解題計劃；3.按計劃解答；4.回答和檢驗。在課本中有時舉例集中進行全面的講解，有時進行單項的講解和練習。

1.關於第一步，十分重視數據的收集。各套課本中都安排較多的使用統計圖表中數據收集的練習。低年級多以形象圖的形式出現，高年級多以統計表的形式出現。例如，五年級出現如下的表：

（1）温度0°c，風速10千米時，風冷係數是多少？

（2）温度—5°c，風冷係數—16°c，風速是多少？

課本中還注意安排有多餘或缺少信息的題目的單項練習。例如，“託姆有4只小狗，薩姆有3只小貓，巴布有5只小狗。一共有多少隻小狗？”“同學們去釣魚，一半人沒去過，沒去過的有多少同學？”通過這樣的題目，可以使學生根據問題正確選擇必需的已知數，從而有助於提高學生分析問題的能力。

2.關於第三步，十分注意正確選擇運算方法的訓練。例如，給出同樣的已知條件，如兩種物品的數量，先提問求它們一共有多少，再提問求它們相差多少。此外也出乘、除法對照的應用題。

3.關於第四步，十分注意檢驗答案的正確性。一方面教給學生檢驗的方法，如用減法驗算加法，用乘法驗算除法等，通過不同的運算方法檢查計算結果是否正確；另一方面教給學生用估算檢查計算結果的高位數是否無誤。此外還注意教學生判斷答案是否合理。一是注意得數怎樣才算合理。如下面幾道題都要算150除以60，但是答案不一樣：“150支鉛筆，均分給60個學生，每人分得幾支？”（答：2支）“150個同學，每隻船可以乘60個同學，需要幾隻船？”（答：3只）“一部電影放映150分鐘，要放映多少小

磯有480千米，汽車一小時行80千米，到那裏要多長？選擇答案：60小時，60千米，6小時。

（二）特殊解題策略

一般有以下幾種：

1.畫圖：通過畫圖幫助理解數量關係。例如，“俱樂部成員鋸木做傢俱，要把一塊木板鋸成10塊，每鋸一次需用5分鐘，一共需用多少分鐘？”通過畫圖可知需要鋸9次，從而容易算出需用的時間。

2.簡化題目：一種是把原題裏較複雜的大數改換為簡單的較小的數，使題目變得容易。另外一種是把敍述較為複雜的題目改換為敍述較為簡單的題目，使題裏的數量關係更清楚。

3.嘗試和猜想：通過猜想試算，逐步調整試算結果求得正確答案。例如，“索尼亞買3本書共付22.5元。其中《神祕的洞穴》比《隱藏的財寶》少1元，《隱藏的財寶》比《奇怪的城市》少1元。每本書的價錢是多少？”第一次嘗試：21接近22.5，能被3除盡，平均每本書的價錢是7元；試把《隱藏的財寶》定作7元，則 6＋7＋8=21（元），接近 22. 5元，但還差 1. 5元。第二次嘗試：給每本書加 0. 5元，則 6. 5+7. 5＋8. 5=22. 5（元），總錢數正好是22.5元。由此可知每本書的價錢。

4.逆推：有些逆向思考的題目可以採用逆推的方法。例如，“阿伯特工作3小時，得到的錢買了一束花，用去9.8元，還剩2.95元。她每小時工作得多少錢？”畫圖幫助分析：逆推時用相反的運算。

5.用方程解：因為不專門講簡易方程，所以把用方程解問題作為解題策略的一部分。一般只限於含有一兩步計算的。

6.用公式解：如求長方形的周長或面積，求長方體的體積。

（三）用近代、現代數學方法解題的策略

這是美國國小數學解題策略的一個重要特點。通過教學使學生既初步瞭解一些近代、現代數學的思想方法，又提高處理信息和解實際問題的能力。一般有如下幾種：

1.分類：從低年級起就注意做分類的練習。例如，把同類的物品圈起來。較高年級讓學生把有關的物體集合用圖表示。例如，出示下面兩圖：

然後讓學生把兩個集合圈合併畫在一起，成下圖

2.組織數據：滲透統計思想和方法。例如，文具店統計幾種物品的數量如下，然後列表計算。

3.樣本與預測：滲透統計思想和方法。例如，有4000人要進城遊玩，市裏讓他們填卡片，寫出姓名和住址。要知道他們住哪個區各有多少人，不翻遍所有卡片，該怎樣做才能知道？可以用樣本來預測。從4000張隨意抽出100張卡片，分給5個人，每人20張，分別做出統計如下表：

4.計算概率：例如，6個小正方體，其中有2個是蘭色，2個是綠色，

5.使用範型：即找出數或形的排列規律，然後運用規律進行計算或判斷。例如，愛德沃今天在銀行存1分，明天存2分，次一天存4分，第四天存7分，第五天存11分……照這樣繼續下去，第十天該存多少錢？為了解這道題，可以做如下的'表，找出範型。

從表中找出範型是每天存的錢數依次比前一天分別增加1、2、3、4、5……分，第十天應存46分，也就是比第一天多存1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8+9=45（分），即存 1＋45=46（分）。

6.使用樹圖：例如，商店有兩種電話機，一種是按鍵的，一種是轉盤的。每種電話機又有紅、黃、綠3種顏色。每種顏色的電話機又有方、圓兩種形狀。一共有多少種可供顧客選擇？為了解這道題，可畫樹圖如下

從圖中可以看出一共有 12種。寫成算式是 2 × 3× 2=12（種）。

7.開放性題目：一般有兩種情況。一種是一道題有不同解法的，另一種是一道題有不同答案的。對後一種舉例如下。

例1：畫出幾種物品，分別註明單價，如襯衣10.99元，褲子13.5元，唱片5.98元，玩具車3.92元，臘筆1.6元。塔德要花8—10元，他能買上面哪些物品？

例2：停車場有汽車和摩托車，共42個輪子，可能各有幾輛？可以列表如下：

從表中看出，可以有10種答案。

8.做決策：這是現代數學方法中的一種。在國小隻能出現極簡單的具體的。例如，“唐納要買輛自行車，價值290元。他已儲蓄了225元，每週打工可以掙40元。有3種選擇，可以根據具體情況做決策。

（1）儲蓄到夠290元再買。

（2）當時付90元，然後每月付19元，付一年。

（3）當時不付款，每月付28元，付一年。

需求出每種選擇所付款的總數，然後比較哪種有利，哪種不利。

（1）哪種選擇付款最少？

（2）哪種選擇可以立刻得到自行車？

（3）唐納能掙夠錢數來支付每種選擇所需的款嗎？

（4）唐納按哪種選擇付錢要少些，是第二種還是第三種？

（5）如果你是唐納，你選擇哪一種？

可以看出上述幾個問題，並不都是隻有一個答案，至於第（5）小題更是因人而異。

9.邏輯思考：包括的內容很多，這裏只舉幾個有代表性的例子。

例1：琴娜可能買胡蘿蔔或梨，她不想買胡蘿蔔，她想買什麼？

例2：甲不如乙高，但他比丙高。誰最矮？

例3：甲乙丙三人分別是鉗工、電工和園丁，但甲不是鉗工也不是園丁，乙不是鉗工。確定他們每人的職業。

找出答案的一種方法是建立一個表，如右表所示。

想：甲不是鉗工也不是園丁，因此是電工。

乙不是鉗工也不是電工，因此是園丁。

那麼丙不是電工和園丁，必是鉗工。

例4：四年級有學生28人，其中14人蔘加樂隊，9人蔘加游泳隊，有4人蔘加了這兩種活動。多少人未參加這兩種活動？

想：只參加樂隊未參加游泳隊的是14-4=10（人）。只參加游泳隊未參加樂隊的是9-4=5（人）。參加樂隊和參加游泳隊的一共是10+5+4=19（人）。所以未參加這兩種活動的是28-19=9（人）。

三 教學解題策略的安排

美國國小數學課本中對解題策略的教學，同其他內容一樣，也十分注意合理的安排。具體地説，有以下幾個特點。

（一）適應學生的年齡特點，從三年級開始正式教學。解題策略的教學，需要學生有一些數學知識基礎，適當積累一些解題的經驗，才比較容易接受。因此從三年級正式開始教學解題策略是比較合適的。但是在一、二年級也注意適當滲透一些有關解題策略的內容，如從圖中找數據，看形象統計圖，選擇運算，初步認識解題步驟，開放性題目等。只是以更具體、簡易的形式出現。如解題的四個步驟，在一、二年級是這樣出現的：（1）知道什麼？求什麼？（2）要解這道題該做什麼？（3）做。（4）檢驗。到三年級正式教學時在此基礎上再加以概括。

（二）分散安排，與其他教學內容適當配合。前面介紹的解題策略，分散安排在各年級的各單元中，都用小標題標出，而且很多解題策略，在不同年級重複出現，其中計算的內容儘量與本年級教學內容相配合。例如，三年級學過一些小數加減法，估算內容中就以小數加減法為主；四年級學過一些小數乘除法，估算內容中就以小數乘除為主。又例如，講概率的計算需要有分數的基礎，就在分數的認識之後出現概率。

（三）遵循由易到難、由簡到繁、由具體到抽象的編排原則。例如，找範型這一解題策略，在各個年級都出現了，但是題目的難易和繁簡有所不同。低年級着重出現看圖找規律的，中年級除了繼續出現低年級的形式外，還出現看到一列數來找規律的，以後進一步出現列表找規律的。又例如，邏輯思考這一解題策略，低年級出現使用“和”“或”的語句，中年級出現利用規律解題，高年級出現利用集合圖解題。

四 一點看法

從前面對美國國小數學中解題策略教學的簡要介紹可以看出，加強這方面的教學，有利於提高國小生的解題能力，促進國小生思維能力的發展。儘管在安排處理上還存在不足之處，如有些解題策略的選取還值得研究，對多步題的練習少了些，有些解題策略的安排還缺乏層次性等，但是改革的方向是對的，是適應現代社會發展需要的。

美國加強解題策略的教學對我國國小數學應用題教學的改革有一定的啟發。建國以來，我國國小數學應用題的教學做了一些改革，但是還很不夠，特別是還沒有跳出傳統應用題教學的框框。應用題教學的內容，基本還侷限在原來的範圍之內，只是做了一些簡化和較為合理的安排；在解題思路方面開始有所重視，在課本中也有所體現，但是還缺乏系統的安排。同美國的解題策略的教學相比，存在一定的差距。

為了進一步改革應用題教學，更好地提高學生的解題能力，發展學生的智力，希望我們的教科書編者、教研人員、廣大教師都來研究在國小數學中如何加強解題策略的教學。首先明確應用題教學改革的方向，如何確定應用題教學的內容和範圍，如何適當安排解題策略的教學。其次要大力開展應用題教學的改革實驗，支持帶有方向性的改革實驗，集中大家的智慧，使我國國小數學應用題更前進一步，為培養我國現代化建設需要的人才打好基礎做出更大的貢獻。