國小奧數題及答案:100盞燈

一個房間中有100盞燈，用自然數1，2，…，100編號，每盞燈各有一個開關。開始時，所有的燈都不亮。有100個人依次進入房間，第1個人進入房間後，將編號為1的倍數的燈的開關按一下，然後離開;第2個人進入房間後，將編號為2的倍數的燈的開關按一下，然後離開;如此下去，直到第100個人進入房間，將編號為100的倍數的燈的開關按一下，然後離開。問：第100個人離開房間後，房間裏哪些燈還亮着?

答案與解析：

對於任何一盞燈，由於它原來不亮，那麼，當它的開關被按奇數次時，燈是開着的;當它的開關被按偶數次時，燈是關着的;

根據題意可知，當第100個人離開房間後，一盞燈的開關被按的次數，恰等於這盞燈的`編號的因數的個數;

要求哪些燈還亮着，就是問哪些燈的編號的因數有奇數個。顯然完全平方數有奇數個因數。所以平方數編號的燈是亮着的。所以當第100個人離開房間後，房間裏還亮着的燈的編號是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。